1.3
Grafik Persamaan

Definisi 1.3.1
Grafik suatu persamaan yang menghubungkan dua peubah $x$ dan $y$ adalah himpunan semua titik pada bidang-$xy$ yang koordinat-koordinatnya merupakan anggota himpunan penyelesaian persamaan tersebut.
Berikut ini dituliskan beberapa sifat penting dari grafik persamaan.
  1. Grafik suatu persamaan pada bidang-$xy$ adalah simetriks terhadap sumbu-$x$ apabila $y$ diganti dengan $(-y)$ dalam persamaan tersebut akan menghasilkan persamaan yang ekuivalen.
  2. Grafik suatu persamaan pada bidang-$xy$ adalah simetriks terhadap sumbu-$y$ apabila $x$ diganti dengan $(-x)$ dalam persamaan tersebut akan menghasilkan persamaan yang ekuivalen.
  3. Grafik suatu persamaan pada bidang-$xy$ adalah simetriks terhadap titik asal $0$ apabila $x$ diganti dengan $(-x)$ dan $y$ diganti dengan $(-y)$ dalam persamaan tersebut akan menghasilkan persamaan yang ekuivalen.
  4. Grafik persamaan bentuknya mengikuti kurva dasar. Misalnya, $y-2=\sqrt{x}$ dan $y=\sqrt{x-1}$ memiliki bentuk yang sama karena memiliki kurva dasar yang sama, yaitu $y=\sqrt{x}$, hanya saja letaknya pada garis koordinat berbeda.
Gambar 1.3.1 Lengkapnya, berikut adalah bentuk-bentuk kurva dasar yang umum digunakan.
$y = x^2$ Gambar 1.3.2
$y = -x^2$ Gambar 1.3.3
$x = y^2$ Gambar 1.3.4
$x = -y^2$ Gambar 1.3.5
$y = \sqrt{x}$ Gambar 1.3.6
$y = -\sqrt{x}$ Gambar 1.3.7
$y = x^3$ Gambar 1.3.8
$x = y^3$ Gambar 1.3.9
$y=\dfrac{1}{x}$ Gambar 1.3.10
$y=-\dfrac{1}{x}$ Gambar 1.3.11
$y=\dfrac{1}{x^2}$ Gambar 1.3.12
$y=-\dfrac{1}{x^2}$ Gambar 1.3.13

Contoh 1
Diberikan titik-titik $A(-5,5)$, $B(2,5)$, $C(2,0)$, $D(2,-2)$, $E(-5,-2)$, dan $F(-5,0)$, titik-titik manakah yang terletak pada garis horizontal dan pada garis vertikal serta tentukan persamaannya.
Pembahasan
Titik-titik yang terletak pada garis horizontal yang sama akan memiliki nilai koordinat $y$ yang sama, misalnya $A(-5,5)$ dan $B(2,5)$ terletak pada garis horizontal $y=5$; $C(2,0)$ dan $F(-5,0)$ terletak pada garis horizontal $y=0$; serta $D(2,-2)$ dan $E(-5,-2)$ terletak pada garis horizontal $y=-2$. Adapun titik-titik yang terletak pada garis vertikal yang sama akan memiliki nilai koordinat $x$ yang sama, misalnya $A(-5,5)$, $E(-5,-2)$, dan $F(-5,0)$ terletak pada garis vertikal $x=-5$; serta $B(2,5)$, $C(2,0)$, dan $D(2,-2)$ terletak pada garis vertikal $x=2$.
Contoh 2
Di antara persamaan-persamaan berikut ini yang mempunyai grafik simetrik terhadap sumbu-$x$ adalah:
  1. $x=9-5y^2$
  2. $xy=2$
  3. $y=|x|-2$
  4. $y=x^2+21$
  5. $x^2-y^2-4=0$
Pembahasan
Grafik pada bidang-$xy$ dikatakan simetrik terhadap sumbu-$x$ bila ketika $y$ diganti $-y$, persamaan yang dihasilkan ekuivalen.
  1. $x=9-5(-y)^2 \implies x=9-5y^2$
  2. $x(-y)=2 \implies -xy=2$
  3. $-y=|x|-2$
  4. $-y=x^2+21$
  5. $x^2-(-y)^2-4=0 \implies x^2-y^2-4=0$
Dengan demikian, persamaan yang simetrik terhadap sumbu-$x$ adalah persamaan pada poin (a) dan (e), yaitu $x=9-5y^2$ dan $x^2-y^2-4=0$.
Latihan!
Tentukan di antara titik-titik berikut manakah yang terletak pada grafik persamaan $y=2x^2-4$.
Dengan uji simetri, manakah persamaan-persamaan berikut ini simetri terhadap sumbu $x$ atau simetri terhadap sumbu $y$ atau simetri terhadap titik asal $O(0,0)$?
Diberikan $y=2+\sqrt{x-1}$ dan garis $l$ yang melalui titik $(1,2)$ dan $(7,5)$. Buatlah sketsa kurva persamaan $y=2+\sqrt{x-1}$ dan garis $l$.